【数学１】数と式--複雑な因数分解 - かぽなーた〜高校数学オンライン問題集〜

複雑な因数分解

複雑な因数分解

今回のテーマ

今回は，複雑な因数分解を扱いました．

たすきがけを必要とする問題
最小次数の文字の式とみなす問題
複二次式

についての解説授業と問題です．

授業動画はこちらをご覧ください

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演習問題

${\fbox{1} \ 次の式を展開せよ。\\ ( 1 )\ (x - 3y)^3\\ ( 2 )\ (x +1)(x +2)(x+3)(x+4)\\ ( 3 )\ (xy-z)(x^2y^2 +xyz + z^2)\\ ( 4 )\ (x^3 + y^3)(x-y)(x^2+xy+y^2) }$

${\fbox{2} \ 次の式を因数分解せよ。\\ ( 1 )\ 5x^2 - 17x + 6\\ ( 2 )\ 6x^2 + x - 12\\ ( 3 )\ 4x^2 + 16x + 15\\ ( 4 )\ (a+b)^2 + 6c(a+b) + 9c^2\\ ( 5 )\ 3ax^2 -24a^2x + 36a^3\\ ( 6 )\ (x^2 + x)^2 -8(x^2+x) + 12\\ ( 7 )\ x^2 - y^2 + 10y - 25\\ ( 8 )\ x^4 + 2x^2 + 9\\ ( 9 )\ x^2 + xy -2y^2 +2x +7y -3\\ ( 10 )\ 2x^2 + xy - 6y^2 - 8x -9y + 6\\ }$

演習解答

${\fbox{1} \ \\ ( 1 )\ (x - 3y)^3\\\ =x^3 -9x^2y + 27xy^2 -27y^3\\ ( 2 )\ (x +1)(x +2)(x+3)(x+4)\\ \ = (x^2+5x+4)(x^2+5x+6)\\ \ = (x^2+5x)^2 + 10(x^2+5x) + 24\\ \ = x^4 + 10x^3 +35x^2 + 50x + 24\\ ( 3 )\ (xy-z)(x^2y^2 +xyz + z^2)\\\ =x^3y^3-z^3\\ ( 4 )\ (x^3 + y^3)(x-y)(x^2+xy+y^2)\\ \ =(x^3+y^3)(x^3-y^3)\\ \ =x^6-y^6 }$

${\fbox{2} \ 次の式を因数分解せよ。\\ ( 1 )\ 5x^2 - 17x + 6\\\ =(x-3)(5x-2)\\ ( 2 )\ 6x^2 + x - 12\\\ =(2x+3)(3x-4)\\ ( 3 )\ 4x^2 + 16x + 15\\\ =(2x+3)(2x+5)\\ ( 4 )\ (a+b)^2 + 6c(a+b) + 9c^2\\\ =(a+b+3c)^2\\ ( 5 )\ 3ax^2 -24a^2x + 36a^3\\\ =3a(x-2a)(x-6a)\\ ( 6 )\ (x^2 + x)^2 -8(x^2+x) + 12\\ \ =\{(x^2+x) -2\}\{(x^2+x) -6\}\\ \ =(x-2)(x-1)(x+2)(x+3)\\ ( 7 )\ x^2 - y^2 + 10y - 25\\ \ =x^2 - (y-5)^2\\ \ =(x+y-5)(x-y+5)\\ ( 8 )\ x^4 + 2x^2 + 9\\ \ =x^4 + 6x^2 + 9 -4x^2\\ \ =(x^2 +3)^2 - 4x^2\\ \ =(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)\\ ( 9 )\ x^2 + xy -2y^2 +2x +7y -3\\ \ =x^2 + (y+2)x -2y^2 +7y -3\\ \ =x^2 + (y+2)x -(2y -1)(y-3)\\ \ =\{x - (y -3)\}\{x+(2y-1)\}\\ \ =(x-y+3)(x+2y-1)\\ ( 10 )\ 2x^2 + xy - 6y^2 - 8x -9y + 6\\ \ =2x^2+(y-8)x-6y^2-9y+6\\ \ =2x^2+(y-8)x-3(2y-1)(y+2)\\ \ =\{2x -3(y+2)\}\{x+(2y-1)\}\\ \ =(2x-3y-6)(x+2y-1)\\ }$