かぽなーた〜高校数学オンライン問題集〜

高校数学の問題をたくさん集めた問題集です.授業と解説はYouTubeにアップロードしていきます.日々の演習に使ってください.センター試験で満点を目指す人を想定して作っていますが,文理問わず私大の入試レベルや国公立レベルの問題もどんどん出題し,解説していきます.意欲の高い高校2年生・高校1年生にもお勧めです.

【数学1】数と式--複雑な因数分解

複雑な因数分解

今回のテーマ

今回は,複雑な因数分解を扱いました.

  1. たすきがけを必要とする問題
  2. 最小次数の文字の式とみなす問題
  3. 複二次式

についての解説授業と問題です.

 

授業動画はこちらをご覧ください

youtu.be


演習問題

{\fbox{1} \ 次の式を展開せよ。\\
 ( 1 )\ (x - 3y)^3\\
( 2 )\ (x +1)(x +2)(x+3)(x+4)\\
( 3 )\ (xy-z)(x^2y^2 +xyz + z^2)\\
( 4 )\ (x^3 + y^3)(x-y)(x^2+xy+y^2)
}


{\fbox{2} \ 次の式を因数分解せよ。\\
 ( 1 )\ 5x^2 - 17x + 6\\
( 2 )\ 6x^2 + x - 12\\
( 3 )\ 4x^2 + 16x + 15\\
( 4 )\ (a+b)^2 + 6c(a+b) + 9c^2\\
( 5 )\ 3ax^2 -24a^2x + 36a^3\\
( 6 )\ (x^2 + x)^2 -8(x^2+x) + 12\\
( 7 )\ x^2 - y^2 + 10y - 25\\
( 8 )\ x^4 + 2x^2 + 9\\
( 9 )\ x^2 + xy -2y^2 +2x +7y -3\\
( 10 )\ 2x^2 + xy - 6y^2 - 8x -9y + 6\\
}

演習解答

{\fbox{1} \ \\
 ( 1 )\ (x - 3y)^3\\\ =x^3 -9x^2y + 27xy^2 -27y^3\\
( 2 )\ (x +1)(x +2)(x+3)(x+4)\\
\ = (x^2+5x+4)(x^2+5x+6)\\
\ = (x^2+5x)^2 + 10(x^2+5x) + 24\\
\ = x^4 + 10x^3 +35x^2 + 50x + 24\\
( 3 )\ (xy-z)(x^2y^2 +xyz + z^2)\\\ =x^3y^3-z^3\\
( 4 )\ (x^3 + y^3)(x-y)(x^2+xy+y^2)\\
\ =(x^3+y^3)(x^3-y^3)\\
\ =x^6-y^6
}


{\fbox{2} \ 次の式を因数分解せよ。\\
 ( 1 )\ 5x^2 - 17x + 6\\\ =(x-3)(5x-2)\\
( 2 )\ 6x^2 + x - 12\\\ =(2x+3)(3x-4)\\
( 3 )\ 4x^2 + 16x + 15\\\ =(2x+3)(2x+5)\\
( 4 )\ (a+b)^2 + 6c(a+b) + 9c^2\\\ =(a+b+3c)^2\\
( 5 )\ 3ax^2 -24a^2x + 36a^3\\\ =3a(x-2a)(x-6a)\\
( 6 )\ (x^2 + x)^2 -8(x^2+x) + 12\\
\ =\{(x^2+x) -2\}\{(x^2+x) -6\}\\
\ =(x-2)(x-1)(x+2)(x+3)\\
( 7 )\ x^2 - y^2 + 10y - 25\\
\ =x^2 - (y-5)^2\\
\ =(x+y-5)(x-y+5)\\
( 8 )\ x^4 + 2x^2 + 9\\
\ =x^4 + 6x^2 + 9 -4x^2\\
\ =(x^2 +3)^2 - 4x^2\\
\ =(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)\\
( 9 )\ x^2 + xy -2y^2 +2x +7y -3\\
\ =x^2 + (y+2)x -2y^2 +7y -3\\
\ =x^2 + (y+2)x -(2y -1)(y-3)\\
\ =\{x - (y -3)\}\{x+(2y-1)\}\\
\ =(x-y+3)(x+2y-1)\\
( 10 )\ 2x^2 + xy - 6y^2 - 8x -9y + 6\\
\ =2x^2+(y-8)x-6y^2-9y+6\\
\ =2x^2+(y-8)x-3(2y-1)(y+2)\\
\ =\{2x -3(y+2)\}\{x+(2y-1)\}\\
\ =(2x-3y-6)(x+2y-1)\\
}