かぽなーた〜高校数学オンライン問題集〜

高校数学の問題をたくさん集めた問題集です.授業と解説はYouTubeにアップロードしていきます.日々の演習に使ってください.センター試験で満点を目指す人を想定して作っていますが,文理問わず私大の入試レベルや国公立レベルの問題もどんどん出題し,解説していきます.意欲の高い高校2年生・高校1年生にもお勧めです.

【演習1】因数分解

【演習第1回】因数分解


演習問題

{ \displaystyle \fbox{1} \ 因数分解しなさい。\\ ( 1 )\   x^2 y -4y^2 z -4 y^3 + x^2 z \\( 2 )\  x^4 + x^2 + 1 - 2xy - y^2 \\( 3 )\   xy + (x+1)(y+1)(xy+1) }

{ \displaystyle \fbox{2} \ 次の問いに答えなさい。\\ ( 1 )\   \sqrt{x^2} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}\ の根号を外しなさい。 \\( 2 ) \ 6 -2\sqrt{2}\ の整数部を\ a,小数部を\ b\ とするとき,a^3 - (b^3 + \displaystyle \frac{1}{b^3})\ の値を求めよ。 }

動画はこちら

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解説

\fbox{1}
 ( 1 ) \ x^2 y -4y^2 z -4 y^3 + x^2 z\\\ =y(x^2-4y^2)+z(x^2-4y^2)\\\ =(y+z)(x+2y)(x-2y)\\
 ( 2 )\ x^4 + x^2 + 1  - 2xy - y^2\\\ =x^4 + 2x^2 + 1 -x^2 - 2xy - y^2\\\ =(x^2 + 1)^2 - (x + y)^2\\\ =(x^2+x+y+1)(x^2-x-y+1)\\
 ( 3 )\ xy + (x+1)(y+1)(xy+1)\\\ =xy + (xy + x + y + 1)(xy + 1)\\\ = x^2 y^2+x^2 y + xy^2+3xy+x+y+1\\\ =(y^2 + y)x^2 +(y^2 + 3y + 1)x + y + 1\\\ = y(y+1)x^2 + (y^2 + 3y + 1)x +(y+1)\\\ = (x(y+1) + 1)(xy + y + 1)\\\ = (xy + x + 1)(xy + y + 1)\\
  \fbox{別解}\\( 3 )\ xy + (x+1)(y+1)(xy+1)\\\ =xy + (xy + x + y + 1)(xy + 1)\\\ =(xy + 1)^2 +(x + y)(xy + 1) + xy\\\ =(xy + x + 1)(xy + y + 1)\\


\fbox{2}
 ( 1 )\ \sqrt{x^2} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}\ の根号を外しなさい。


\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x &(x \geqq 0) \\ -x &(x\lt 0) \end{cases}\\
\sqrt{x^2 - 2x +1} = |x-1| = \begin{cases} x - 1 &(x \geqq 1) \\ -x + 1 &(x\lt 1) \end{cases}\\

\begin{cases}
\ x < 0のとき,\ &(-x) + (1-x) &= 1 - 2x \\
\ 0 \leqq x < 1 のとき,\  &x + (1 - x) &= 1 \\
\ x \geqq 1 のとき,\  &x + x-1 &=2x-1\\
\end{cases}


 ( 2 ) \ 6 -2\sqrt{2}\ の整数部を\ a,小数部を\ b\ とするとき,a^3 - (b^3 + \dfrac{1}{b^3})\ の値を求めよ。

\begin{array}
\ (2 \sqrt{2}) ^ 2 = 8 より,\\
2^2 \lt ({2 \sqrt{2})^2} \lt3^2 \ なので, \\
2\lt 2{\sqrt{2}} \lt 3 \\
3\lt 6-2{\sqrt{2}} \lt 4
\end{array}
これより,a = 3,b = 3-2{\sqrt{2}}\ である。
また,
\ \begin{array}
\ \dfrac{1}{b} &= \dfrac{1}{3-2\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{1}{3-2\sqrt{2}}\times \dfrac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}\\
&= \dfrac{3+2\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2}\\
&= 3+2\sqrt{2}\\
\end{array}

であるから,b + \dfrac{1}{b} = 6
\ ここで,
\begin{array}
\ (b + \dfrac{1}{b})^3 &= b^3 + 3b + \dfrac{3}{b} + \dfrac{1}{b^3}\ より,\\
b^3 + \dfrac{1}{b^3} &= (b + \dfrac{1}{b})^3 -3(b + \dfrac{1}{b}) \ なので,\\
\end{array}

$\begin{array}
\ a^3 - (b^3 + \dfrac{1}{b^3}) &= 3^3 - (6^3 - 3\times 6)\\
&= 27 - 180\\
&= -153
\end{array}$